การคิดและการให้เหตุผลอย่างคณิตศาสตร์

การคิดและการให้เหตุผลอย่างคณิตศาสตร์
สืบเนื่องจากการประชุมประจำปีของ NCTM (National Council of Teachers of Mathematics) เรื่อง มาตรฐานหลักสูตรและการ ประเมินผล การพัฒนาความสามารถในการคิดในการให้เหตุผล และการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ เป็นเป้าหมายหลักในการเรียนคณิตศาสตร์ถึงกระนั้นก็ดีมีนักเรียนเป็น จำนวนมากที่ไม่สามารถบรรลุเป้าหมายนี้ด้วยเหตุผลนานาประการ นับตั้งแต่ หนังสือเรียนไม่เหมาะสมไปจนถึงงานที่ได้รับมอบหมายไม่เกิดประโยชน์ การคิดและการให้เหตุผลในคณิตศาสตร์คืออะไร ครูจะรู้ได้อย่างไรว่า นักเรียนได้มีการคิดและให้เหตุผล
กิจกรรมนั้นโดยตัวเองแล้วไม่จัดว่าเป็นการให้เหตุผลและ การคิด การให้เหตุผลเกี่ยวกับสถานการณ์ใดสถานการณ์หนึ่ง เกิดจากการที่นักเรียนได้กระทำอะไรระหว่างที่เขาทำกิจกรรมนั้น เมื่อใดก็ตามที่นักเรียนกำลังตัดสินใจว่าจะเลือกใช้วิธีไหน จะปรับวิธีการต่างๆอย่างไร หรือจะประสมประสานความรู้ที่มี อยู่แล้วจากประสบการณ์เดิมอย่างไร นั่นหมายความว่าเด็กกำลัง คิดและให้เหตุผล แรกเริ่มที่นักเรียนทำกิจกรรมจะเกี่ยวข้อง กับการให้เหตุผลและการคิด แต่เมื่อได้แก้ปัญหาแบบเดียวกันซ้ำๆ นักเรียนก็มักจะใช้แต่วิธีการนำไปใช้เท่านั้น ระดับ "การคิด" ที่สูงขึ้นกว่านี้เป็นอย่างไร การมองดูอาจ ไม่ใช่ของจริง ท่านจะต้องมองเห็นนักเรียนไม่ใช่มองเห็นครู กระทำการสอน การพูดจาก็อาจไม่ใช่ของจริงแต่ท่านจะต้องได้ยินครู ถามคำถามนักเรียนว่าทำไม อะไรและอย่างไร ซึ่งเป็นคำถามที่ต้อง การคำตอบมากกว่าหนึ่งคำขึ้นไป ท่านจะต้องได้ยินนักเรียนกำลัง อธิบาย คาดเดา อธิบายรูปแบบ ให้ความคิดเห็น หรือสื่อ ความหมายในข้อวิเคราะห์ของเขา

การคิดและการให้เหตุผลอย่างคณิตศาสตร์นี้กำลังจะบังเกิดขึ้น ในชั้นเรียนคณิตศาสตร์ทั่วสหรัฐ อเมริกา เมื่อภาคเรียนที่แล้ว ผู้เขียนเรื่องนี้ได้ไปเฝ้าดูนักเรียนเกรด 2 คิดเกี่ยวกับจำนวน คุกกี้ที่ครูจะต้องแจกให้นักเรียน 10 คน คนละ 2 ชิ้นต่อวัน ตั้งแต่ วันจันทร์ถึงศุกร์แทนการบอกวิธีให้นักเรียนคิด ครูจะ ให้นักเรียนจับคู่แล้วช่วยกันคิดวิธีที่จะแก้โจทย์ปัญหา นี้ นักเรียนบางคู่วาดรูปนักเรียน 10 คน ในมือแต่ละข้าง ของทุกคนถือคุกกี้ข้างละ 1 ชิ้นในแต่ละวัน แล้วเขาก็นับ จำนวนคุกกี้ในภาพ นักเรียนอีกคู่หนึ่ง สร้างตารางตั้งแต่วันจันทร์ ถึงศุกร์ ด้านซ้ายเป็นจำนวน 1-10 หาผลลัพธ์ของแต่ ละคอลัมน์ได้ 20 รวม 5 คอลัมน์ได้ 100 บางคู่ใช้เบี้ย แทนคุกกี้ บางคู่นับทีละ 10 สำหรับคุกกี้จำนวนแรกของ วันแรก อีก 10 ชิ้น ต่อไปเป็นจำนวนที่สองของวันแรก และต่อไปเรื่อย ๆ จนถึง 10 ชิ้นสุดท้าย การสนทนาของพวกเด็ก ๆ จะเกี่ยวกับวิธีจะทำ อย่างไรกับข้อมูลที่มีอยู่ และทำอย่างไรจะให้ได้ ผลลัพธ์ มีเด็กคนหนึ่งเขียนแค่ 56+44 = 100 บน กระดาษ ก็ได้รับการร้องขอให้อธิบายว่าคุกกี้เกี่ยวข้อง อย่างไรกับ 56 และ 44 นักเรียนเหล่านี้กำลังคิดและให้ เหตุผลอย่างแน่นอน นักเรียนที่มีวิธีการที่แตกต่างก็รับ ผิดชอบในการอธิบายวิธีคิดของเขาแก่เพื่อนร่วมชั้น เป็นการสังเกตการสอนที่มีคุณค่ามากในความเห็นของผู้เขียน

อีกชั้นเรียนหนึ่งที่ผู้เขียนได้ไปเฝ้าสังเกตคือเกรด 6 นักเรียนกำลังหาอัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมวงหนึ่งกับเส้น ผ่านศูนย์กลาง กระบวนการนี้เด็กชายคู่หนึ่งได้ใช้กฎการหา พื้นที่วงกลม และได้รับการขอร้องให้อธิบาย คนแรกตอบไม่ถูกเขาตอบว่าถ้าท่านสร้าง สี่เหลี่ยมรูปหนึ่งในวงกลม พื้นที่ของสี่เหลี่ยมรูปนั้นจะ เท่ากับ อีกคนไม่เห็นด้วยเขา สร้างวงกลมบนกระดานจากรัศมีเขาสร้างรูปสี่เหลี่ยมบน สี่เหลี่ยม ของ วงกลม แล้วชี้ให้เห็นว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยม คือ "ถ้าพื้นที่ของวงกลมทั้งสิ้นคือ 4 r2 พื้นที่ก็จะมาก เกินไป จำนวนที่ถูกต้องน่าจะเพียงแค่ 3 เท่าของ รูปสี่เหลี่ยม หรือคือ ซึ่งผู้เขียนคิดว่าเป็น การอธิบายสูตรที่แยบยล
อีกตัวอย่างหนึ่งเป็นนักเรียนมัธยมปลายหลัง จากผ่าน Advanced Placement Calculus Test เมื่อภาคเรียนก่อน ครูจะตรวจสอบเรื่อง ภาคตัดกรวยที่ยากขึ้นกับเด็กที่เธอสอน ก่อนจะลงมือดำเนินการครูได้ให้ดูภาพยนต์แสดงถึงแต่ละภาคตัดกรวยจะมีส่วนร่วมของระนาบและรูปกรวย นักเรียนคนหนึ่งก็ถามขึ้นว่าระเบียบวิธีของส่วนร่วมเกี่ยวข้องกับนิยามของภาคตัดกรวยที่ใช้ระยะทางอย่างไร ครูก็ส่งคำถามให้นักเรียนในชั้นให้ช่วยกันคิด เพื่อหาข้อความคาดการณ์
ผู้เขียนรู้สึกทึ่งมากได้ให้ข้อเสนอแนะไปข้อสองข้อ เมื่อสัญญาณหมดเวลาดังขึ้น โดยยังหาข้อยุติไม่ได้ นักเรียนก็ต้องออกจากห้องไปโดยถกเถียงกันไประหว่างทางว่ากลวิธีใดจึงจะบังเกิดผล ครูก็ยอมรับว่าตัวเธอเองก็ไม่รู้คำตอบเหมือนกันแต่จะไปค้นคว้าต่อที่บ้าน (ผู้เขียนเองก็ไม่ทราบเหมือนกันก็ต้องไปตรวจสอบกับแหล่งที่เชื่อถือได้ต่อไป!) เห็นได้ชัดว่านักเรียนเหล่านั้นคุ้นเคยกับการเสี่ยง คุ้นเคยกับการให้ผลเฉลย และการอธิบายคำตอบ และคุ้นเคยกับการคิดเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ กิจกรรมเหล่านี้ดูเหมือนและรู้สึกว่าเป็นตัวอย่างอันดีสำหรับการคิด และการให้เหตุผลอย่างคณิตศาสตร์
พื้นฐานของมาตรฐานคณิตศาสตร์ไม่ใช่แค่การมองดู หรือความรู้สึกที่เห็นหรือสังเกตได้ในชั้นเรียน หากแต่ต้องเป็นสิ่งที่เกิดขึ้นจริง เด็ก ๆ ที่ยก ตัวอย่างข้างต้นนั้นได้นำเครื่องมือและกระบวนการ ที่ได้เรียนแล้วมาใช้ประโยชน์อย่างมีนัยสำคัญในคณิตศาสตร์ เป็นการสะท้อนผลการสอนของครู ฉะนั้นขณะที่ท่านวางแผนสำหรับบทเรียนในอนาคต ก็ควรที่จะพยายามหาทางหลายๆทางที่ให้นักเรียนได้มีส่วนเกี่ยวข้อง และไปให้เหนือกว่าขั้นการใช้ทักษะและกระบวนการ พยายามส่งเสริมให้นักเรียนบรรลุถึงเป้าหมายของคำว่า มาตรฐาน คือการคิดและการให้เหตุผลอย่างคณิตศาสตร์
เรียบเรียงจากเรื่อง
Let's Talk about Mathematical Thinking and Reasoningของ Gail Burrill ในเอกสาร NCTM

6 เทคนิคการสอนคณิตศาสตร์ เคล็ดลับสำหรับเด็กเกลียดเลข
--------------------------------------------------------------------------------
คอลัมน์....โรงเรียนในฝัน

วันจันทร์ ที่ 29 สิงหาคม 2548 สถาบันวิจัยและพัฒนาผู้ที่มีความสามารถพิเศษและความต้องการพิเศษแห่งชาติ มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ (มศว) นำทีมโดย ศ.ดร.ศรียา นิยมธรรม รองประธานสถาบันวิจัยและพัฒนาผู้ที่มีความสามารถพิเศษและความต้องการพิเศษแห่งชาติ มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ (มศว) จัดประชุมเชิงปฏิบัติการ เรื่อง “เทคนิคการสอนคณิตศาสตร์เด็กที่มีปัญหาทางการเรียนรู้ด้านคณิตศาสตร์” ขึ้น ณ ห้องประชุมสำนักหอสมุดกลาง ชั้น 8 มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ งานนี้สืบเนื่องมาจากสัปดาห์ที่มีการคัดกรองเด็กที่มีความบกพร่องทางการเรียนรู้ ว่าเด็กแต่ละคนมีความบกพร่องทางด้านใด เมื่อได้แล้วก็เข้าสู่กระบวนการช่วยเหลือ ซึ่งทางสถาบันวิจัยและพัฒนาผู้ที่มีความสามารถพิเศษและความต้องการพิเศษแห่งชาติ จัดประชุมเชิงปฏิบัติการเทคนิคการสอนคณิตศาสตร์ให้แก่ครูผู้สอน

นางสาวพัชรินทร์ เสรี นิสิตระดับปริญญาเอก สาขาการศึกษาพิเศษ คณะศึกษาศาสตร์ มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ บอกว่างานในช่วงเช้าของวันที่ 29 สิงหาคม 2548 จะมีการบรรยายเรื่อง “ความรู้ทั่วไปเกี่ยวกับเด็กที่มีปัญหาทางการเรียนรู้”ในช่วงบ่ายจะเข้าสู่การบรรยายเทคนิควิธีการสอนเด็กที่มีปัญหาทางการเรียนรู้ด้านคณิตศาสตร์

“เด็กที่มีความบกพร่องทางด้านคณิตศาสตร์ ความรู้ด้านคณิตศาสตร์จะไม่ได้ตามวัยของเด็ก อย่างเช่นการบวก ลบ คูณ หาร จำนวนต่างๆ เด็กจะไม่รู้ตามวัยที่ควรจะรู้”

ส่วนเทคนิคที่จะนำมาสาธิตให้ครูที่เข้าร่วมการประชุมเชิงปฏิบัติการครั้งนี้ได้เรียนรู้ มีทั้งสิ้น 6 วิธีซึ่งใช้ได้ผลในเด็กที่มีความบกพร่องทางการเรียนรู้ ประกอบด้วย

1. ใช้การละเล่นพื้นบ้าน ใช้เกมการละเล่นพื้นบ้านมาสอนเด็ก ซึ่งจะสอนเรื่องการเปรียบเทียบ การวัดระยะทาง การบวกลบคูณหาร

2. สอนเทคนิคการอ่านโจทย์เลข เด็กที่มีความบกพร่องทางการเรียนรู้จะอ่านโจทย์เลขไม่ได้ ซึ่งจะอ่านไม่เข้าใจ ไม่รู้ว่าโจทย์ถามอะไร หมายความอย่างไร เมื่ออ่านโจทย์ไม่ได้ก็จะส่งผลถึงการคิดเลขด้วย ซึ่งเราจะใช้วิธีการทางกราฟิกเข้ามาช่วยในการอ่านโจทย์ปัญหา

3. ใช้ศิลปะเข้ามาช่วย เน้นคำถามเชิงเปรียบเทียบและคำถามเชิงเหตุผลแต่ใช้ศิลปะเข้ามาช่วย เราอาจจะสอนเด็กด้วยการปั้นหุ่นยนต์ซึ่งอาจจะมีอุปกรณ์เป็นดินน้ำมันหรือแป้งโด กระดาษ จากนั้นคุณครูอาจบอกว่า มีแป้งโดกับกระดาษ และถ้านำของสองสิ่งนี้ไปวางที่ประตูแล้วมีลมพัดมา นักเรียนคิดว่าระหว่างแป้งโดกับกระดาษอะไรจะปลิวไป นักเรียนที่มีปัญหาด้านความบกพร่องทางการเรียนรู้จะเปรียบเทียบไม่ได้ว่าอะไรหนักหรือเบากว่ากัน ลักษณะการสอนเช่นนี้เป็นการสอนเปรียบเทียบและต้องสอนต่อว่าถ้ากระดาษปลิวเพราะอะไร

4. การอ่านการ์ตูน เราต้องทำเป็นเรื่องราวสอนเกี่ยวกับตัวเลข บวก ลบ คูณหารเด็กจะสนุกกับภาพการ์ตูนและจะเรียนรู้ได้มากขึ้น

5. การเล่นบทบาทสมมติ อาจจะให้เด็กนักเรียนในชั้นออกมานับหนังสือ 20 เล่ม จากนั้นให้เพื่อนออกมาหน้าชั้นเรียนอีก 5 คน นักเรียนคิดว่าจะได้คนละกี่เล่ม จากนั้นเด็กก็จะเริ่มแจกจนหนังสือหมด แล้วเด็กจะได้คำตอบเป็นการสอนเรื่องการหาร

6. เกม ซึ่งจะใช้เกมเศรษฐีและการทอยลูกเต๋า เป็นการสอนเรื่องตัวเลข เด็กจะรู้ว่าแต้มไหนมากกว่าแต้มไหนน้อยกว่า

การสอนวิชาการเพียงอย่างเดียวจะใช้ไม่ได้ผลกับเด็กที่มีความบกพร่องทางการเรียนรู้ เด็กจะชอบความสนุกต้องออกแบบการเรียนการสอนที่เน้นทั้งการเรียนและการเล่นให้อยู่ด้วยกัน การเรียนลักษณะนี้เป็นรูปธรรมชัดเจน เด็กจะเข้าใจง่ายเรียนรู้ได้เร็ว

สิ่งที่น่าห่วงก็คือ ครูไทยบางคนไม่ชอบการปรับการเรียนการสอน บางคนติดอยู่กับขั้นตอนมากเกินไป และจะไม่สนุกในการทำกิจกรรมกับเด็กแต่ถ้าเป็นครูที่เข้าใจและสอนไปเล่นไปก็จะสอนเด็กกลุ่มนี้ได้ดี

"ณ ปัจจุบันนี้คิดว่าพอจะมีครูที่เข้าใจเด็กและสอนด้วยความเข้าใจว่าเด็กมีความหลากหลาย ต้องปรับวิธีการสอนให้หลากหลายมากขึ้น คิดว่ามีมากขึ้นกว่าในอดีต และวิธีการสอนเด็กที่มีความบกพร่องทางการเรียนรู้ก็เป็นอีกวิธีการหนึ่งที่ครูไทยควรจะได้เรียนรู้เพื่อปรับใช้ในการสอนต่อไป”
-----------------------------------------------------------------

โดย ทีมวิชาการ มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ (มศว.)

การคิดเลขในใจเป็นสิ่งสำคัญและมีประโยชน์ต่อการเรียนคณิตศาสตร์

การคิดเลขในใจ (Mental Math หรือ Figuring in You head) นั้นเป็นสิ่งสำคัญ จำเป็น และมีประโยชน์ในการเรียนคณิตศาสตร์ การฝึกคิดเลขในใจนั้นควรฝึกทุกระดับตั้งแต่ระดับประถมศึกษา แล้วก็จะช่วยส่งผลต่อการเรียนคณิตศาสตร์ในระดับมัธยมศึกษา และหากนักเรียนมีทักษะการคิดเลขในใจในระดับมัธยมศึกษาแล้วก็จะช่วยส่งผลต่อการเรียนชั้นระดับอุดมศึกษาเช่นกันอย่างแน่นอน
การจัดกิจกรรมเพื่อให้นักเรียนได้ฝึกคิดเลขในใจนั้น ควรจัดผสมผสานไปในกระบวนการเรียนการสอน และกระบวนการคิดทางคณิตศาสตร์การคิดเลขในใจเป็นการคิดเลขที่ไม่ใช้เครื่องช่วย เช่น กระดาษ ดินสอ เครื่องคิดเลข เป็นการฝึกคิดเลขในหัว Jack A. Hope, Larry leutzinger,Barbara J.Reys และ Robert E.Reys เชื่อว่า การคิดเลขในใจจะก่อให้เกิดประโยชน์มากมาย ดังนี้

1. การคิดเลขในใจจะช่วยให้นักเรียนแก่ปัญหาต่าง ๆ ได้ดีขึ้น (Calculation in your head is a practical life skill) โจทย์ปัญหา การคิดคำนวณในชีวิตประจำวันหลายต่อหลายแบบนั้นสามารถหาคำตอบได้โดยการคิดในใจ เพราะในความเป็นจริงขณะที่เราพบปัญหา เราอาจจะต้องการทราบคำตอบเดี๋ยวนั้นเลย การคิดหาคำตอบต้องทำในหัว ไม่ใช้กระดาษ คินสอหรือเครื่องคิดเลขยกตัวอย่าง เช่น ขณะที่เรากำลังออกเดินทางจากสนามบินแห่งหนึ่ง departure board ระบุว่า Flight ที่เราจะออกเดินทางคือ 15.35 น. เรามองดูนาฬิกาว่าขณะนั้นเป็นเวลา 14.49 น. ถามว่ามีเวลาเหลือเท่าไร ? เรามีเวลาเหลือพอที่จะหาอะไรทานไหม ? ปัญหาเหล่านี้จำเป็นต้องคิดคำนวณในใจเลยซึ่งถ้าเราฝึกทักษะคิดเลขในใจมาประจำก็จะช่วยให้เราแก้ปัญหาดังกล่าวได้ง่ายขึ้น

2. การฝึกคิดเลขในใจจะช่วยให้นักเรียนเขียนแสดงวิธีทำได้ง่ายขึ้นและเร็วขึ้น (Skill at mental math can make written computaion easier or quicker) เช่นในการหาคำตอบของ 1,000 x 945 นักเรียนบางคนอาจเขียนแสดงการหาคำตอบดังนี้
ในขณะที่นักเรียนซึ่งฝึกคิดลขในใจมาเป็นประจำสามารถหาคำตอบได้ในหัวข้อแล้ว และลดขั้นตอนการเขียนแสดงวธีทำเหลือแค่บรรทัด เดียวคือ 1,000 x 945 = 945,000 เช่นเดียวกับการหาคำตอบของโจทย์ข้อนี้
นักเรียนสามารถคิดในใจได้คำตอบ ถูกต้องแม่นยำและรวดเร็วโดยบวกจำนวนสองจำนวนที่ครบสิบก่อนแล้วจึงบวกกับจำนวนที่เหลือ

(10 +10+ 10+ 2 = 32) ในขณะที่นักเรียนบางคนอาจใช้วิธีบวกทีละขั้นตอน ซึ่งกว่าจะได้คำตอบก็อาจใช้เวลามากกว่า

3. การคิดเลขในใจจะช่วยเสริมสร้างความสามารถในการประมาณ (Proficiency in mental math contributes to increased skill in estimation) ทักษะการประมาณเป็นเรื่องที่สำคัญในการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ในปัจจุบันเพราะการประมาณจะช่วยในการตรวจสอบคำตอบว่าน่าจะเป็นไปได้ไหม สามเหตุสมผลไหม (make any sence ) เช่น เป็นไปได้ไหมที่คำตอบของ 400x198 จะมากกว่า 80,000 (ซึ่งเป็นไปไม่ได้เพราะว่า 400 x 200 = 80,000)

4. การคิดเลขในใจจะช่วยให้นักเรียนเข้าใจเรื่องเหล่านี้ดีขึ้น คือ ค่าประจำหลัก การกระทำทางคณิตศาสตร์และสมบัติต่าง ๆ ของจำนวน (Mental calculator can lead to a better understanding of place value, mathematical operations, and basic number properties) ทั่งนี้เพราะหากนักเรียนสามารถหาคำตอบได้จากการคิดเลขในใจนั้นก็แสดงว่า นักเรียนต้องมีความเข้าใจในความคิดรวบยอดหลักการต่าง ๆ ที่เกี่ยวกับจำนวนเป็นอย่างดีแล้วเช่นกัน

ครูควรให้นักเรียนทำแบบฝึกหัดคิดเลขในใจหลังจากที่นักเรียนเข้าใจในหลักการและวิธีการแล้วการฝึกคิดเลขในใจจะช่วยให้นักเรียนมีทักษะ ความชำนาญในการคิดเลขได้อย่างถูกต้อง แม่นยำ และรวดเร็วนอกจากนี้ยังช่วยลับสมองให้ตื่นตัวตลอดเวลาในการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ครูควรหาแบบฝึกหัดมาให้นักเรียนทำทั้งที่เป็นแบบฝึกหักสำหรับคิดเลขในใจปะปนอยู่ด้วยตลอดเวลา ในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์บางครั้งจะเสนอแบบฝึกหัดให้นักเรียนตอบด้วยวาจา นั่นก็เป็นรูปแบบหนึ่งของแบบฝึกหัดที่ต้องการให้นักเรียนฝึกคิดเลขในใจ โปรดระลึกว่าการฝึกคิดเลขในใจนั้นควรให้นักเรียนได้ฝึกเป็นประจำทึกวันอย่างสม่ำเสมอทำวันละน้อยแต่ต่อเนื่องและควรทำกับนักเรียนทุกระดับตั้งแต่ประถมศึกษาจนถึงมัธยมศึกษาและอุดมศึกษา หากครูผู้สอนคณิตศาสตร์ทุกคนได้ฝึกให้นักเรียนได้รู้จักคิดเลขในใจเป็นประจำก็เชื่อได้ว่านักเรียนจะมีทักษะการบวกลบคุณหารดีขึ้นคิดได้ถูกต้อง แม่นยำและรวดเร็วขึ้นภาพลักษณ์ของเด็กไทยในศตวรรษที่ 21 อาจเป็น " เด็กไทยคิดเลขเก่งและเร็วกว่าเครื่องคิดเลข" ก็ได้